Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 50°С, Маша влила порцию холодной воды с температурой 15°С. После установления равновесия температура воды в чашке составила 75 °С. Удельные теплоемкости чая и воды одинаковы и равны c = 4200 Дж/(кг·°С). Теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. 1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе влитой воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячий, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.

Краткая запись:

• Начальная температура чая (T_ч): 50°С
• Начальная температура воды (T_в): 15°С
• Конечная температура смеси (T_к): 75°С
• Удельная теплоемкость чая и воды (c): 4200 Дж/(кг·°С)
• Теплообменом с окружающей средой пренебрегаем.

Пошаговое решение:

Часть 1: Отношение количества теплоты

1. Шаг 1: Запишем формулу для количества теплоты, отданного чаем (Q_ч) и полученного водой (Q_в).
   Количество теплоты вычисляется по формуле: $$Q = mcΔT$$, где $$m$$ — масса, $$c$$ — удельная теплоемкость, $$ΔT$$ — изменение температуры.
2. Шаг 2: Изменение температуры чая ($$ΔT_{ч}$$) и воды ($$ΔT_{в}$$) в первом процессе:
   $$ΔT_{ч} = T_{ч} - T_{к} = 50°С - 75°С = -25°С$$. (Чай отдал тепло, поэтому изменение температуры отрицательно, но для расчета количества отданного тепла берем положительное значение $$25°С$$).
   $$ΔT_{в} = T_{к} - T_{в} = 75°С - 15°С = 60°С$$.
3. Шаг 3: Запишем количество теплоты:
   Количество теплоты, отданное чаем: $$Q_{отд} = m_{ч}c(T_{ч} - T_{к}) = m_{ч} imes 4200 imes (50 - 75) = -25m_{ч} imes 4200$$. (Мы берем $$T_{ч} - T_{к}$$ чтобы получить отрицательное значение, показывающее отдачу тепла).
   Количество теплоты, полученное водой: $$Q_{пол} = m_{в}c(T_{к} - T_{в}) = m_{в} imes 4200 imes (75 - 15) = 60m_{в} imes 4200$$.
4. Шаг 4: Приравниваем $$Q_{отд}$$ (взятое по модулю) к $$Q_{пол}$$ согласно закону сохранения энергии:
   $$|Q_{отд}| = Q_{пол}$$
   $$25m_{ч} imes 4200 = 60m_{в} imes 4200$$.
5. Шаг 5: Находим отношение $$Q_{отд}$$ к $$Q_{пол}$$. В данной задаче, по условию, $$Q_{отд}$$ (отданное чаем) должно быть равно $$Q_{пол}$$ (полученному водой) для установления равновесия. Однако, если вопрос подразумевает отношение абсолютных значений теплот, то:
   $$rac{|Q_{отд}|}{Q_{пол}} = rac{25m_{ч} imes 4200}{60m_{в} imes 4200} = rac{25m_{ч}}{60m_{в}}$$.
   Если же вопрос подразумевает отношение $$Q_{отд}$$ (как отданное) к $$Q_{пол}$$ (как полученное), то в контексте закона сохранения энергии эти величины равны. Вероятно, имеется в виду отношение абсолютных величин, если бы чай мог отдать тепло, которое не было получено водой. Но исходя из условия, что равновесие установилось, $$Q_{отд} = Q_{пол}$$.
   Если под $$Q_{отд}$$ понимать $$m_{ч}c(T_{ч}-T_{к})$$ и $$Q_{пол}$$ как $$m_{в}c(T_{к}-T_{в})$$, то отношение $$rac{m_{ч}c(T_{ч}-T_{к})}{m_{в}c(T_{к}-T_{в})} = rac{m_{ч} imes 4200 imes (50-75)}{m_{в} imes 4200 imes (75-15)} = rac{m_{ч} imes (-25)}{m_{в} imes 60}$$.
   Если вопрос предполагает отношение теплоты, которую чай *мог бы* отдать, к полученной водой, то это $$rac{|Q_{отд}|}{Q_{пол}} = rac{25m_{ч}}{60m_{в}}$$.
   Но исходя из контекста задачи, где установилось равновесие, теплота отданная равна полученной. Поэтому, если вопрос о *величине* теплоты, то отношение будет $$rac{25m_{ч}}{60m_{в}}$$. Если же речь идет о *количестве* теплоты, то оно равно, то есть 1:1. Наиболее вероятное понимание — это отношение абсолютных значений изменений теплоты, которое мы получим в следующем пункте.

Часть 2: Отношение массы

6. Шаг 6: Из равенства $$25m_{ч} imes 4200 = 60m_{в} imes 4200$$ сокращаем $$4200$$ и находим отношение масс:
   $$25m_{ч} = 60m_{в}$$
   $$rac{m_{ч}}{m_{в}} = rac{60}{25} = rac{12}{5} = 2.4$$.

Часть 3: Температура после добавления воды

7. Шаг 7: Маша добавляет ещё одну такую же порцию воды. Это означает, что масса добавленной воды равна $$m_{в}$$, и её температура $$15°С$$.
   Новая масса воды будет $$m_{в} + m_{в} = 2m_{в}$$.
   Количество теплоты, отданное чаем ($$m_{ч}$$ с начальной температурой 75°С, так как это конечная температура после первого смешивания) в этот раз: $$Q'_{отд} = m_{ч}c(75°С - T''_{к})$$.
8. Шаг 8: Количество теплоты, полученное водой (общей массой $$2m_{в}$$):
   Первая порция воды (массой $$m_{в}$$) нагрелась до 75°С. Теперь она будет нагреваться дальше. Количество теплоты, полученное первой порцией воды: $$Q_{пол1} = m_{в}c(T''_{к} - 75°С)$$.
   Вторая порция воды (массой $$m_{в}$$) имеет температуру 15°С. Количество теплоты, полученное второй порцией воды: $$Q_{пол2} = m_{в}c(T''_{к} - 15°С)$$.
   Общее количество теплоты, полученное водой: $$Q'_{пол} = Q_{пол1} + Q_{пол2} = m_{в}c(T''_{к} - 75°С) + m_{в}c(T''_{к} - 15°С) = m_{в}c(2T''_{к} - 90°С)$$.
9. Шаг 9: Приравниваем $$Q'_{отд}$$ к $$Q'_{пол}$$:
   $$m_{ч}c(75°С - T''_{к}) = m_{в}c(2T''_{к} - 90°С)$$.
   Сокращаем $$c$$: $$m_{ч}(75 - T''_{к}) = m_{в}(2T''_{к} - 90)$$.
10. Шаг 10: Используем соотношение $$rac{m_{ч}}{m_{в}} = 2.4$$, откуда $$m_{ч} = 2.4m_{в}$$. Подставляем в уравнение:
    $$2.4m_{в}(75 - T''_{к}) = m_{в}(2T''_{к} - 90)$$.
11. Шаг 11: Сокращаем $$m_{в}$$ (так как она не равна нулю):
    $$2.4(75 - T''_{к}) = 2T''_{к} - 90$$.
12. Шаг 12: Раскрываем скобки и решаем уравнение относительно $$T''_{к}$$:
    $$180 - 2.4T''_{к} = 2T''_{к} - 90$$
    $$180 + 90 = 2T''_{к} + 2.4T''_{к}$$
    $$270 = 4.4T''_{к}$$
    $$T''_{к} = rac{270}{4.4} = rac{2700}{44} = rac{675}{11} ext{ °С}$$.
13. Шаг 13: Округляем полученное значение:
    $$T''_{к} ext{ ≈ } 61.36 °С$$.

Ответ:

1. Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой, равно 1:1 (если имеется в виду тепловой баланс). Если вопрос подразумевает отношение абсолютных величин $$25m_{ч}$$ к $$60m_{в}$$, то отношение равно $$rac{25m_{ч}}{60m_{в}}$$.
2. Отношение массы чая к массе влитой воды: $$rac{m_{ч}}{m_{в}} = 2.4$$.
3. Температура чая после добавления второй порции воды составит примерно $$61.36 °С$$.