Для того чтобы получить сумму 210 тыс. руб. через полгода под 10 % годовых, клиенту необходимо положить в банк ... тыс. руб.

Решение:

Эта задача на расчёт первоначальной суммы вклада при известной конечной сумме, процентной ставке и сроке. Можно использовать формулу сложных процентов, но поскольку срок небольшой (полгода) и ставка годовая, проще рассчитать обратным путём.

Пусть \( S \) — сумма, которую необходимо положить в банк (тыс. руб.).

Процентная ставка: \( 10 \% \) годовых.

Срок вклада: \( 0.5 \) года (полгода).

Сумма, которую клиент хочет получить через полгода: \( 210 \) тыс. руб.

Формула для расчёта будущей стоимости вклада:

\[ S_{будущая} = S_{первоначальная} \times (1 + \text{ставка})^\text{срок} \]

В нашем случае:

\[ 210 = S \times (1 + 0.10)^{0.5} \]

Чтобы найти \( S \), нужно выразить её из уравнения:

\[ S = \frac{210}{(1.10)^{0.5}} \]

Рассчитаем \( (1.10)^{0.5} \) (корень из 1.10):

\[ \sqrt{1.10} \approx 1.0488 \]

Теперь рассчитаем \( S \):

\[ S = \frac{210}{1.0488} \approx 200.23 \]

Округлим до десятых, так как в условии указано «тыс. руб.», что подразумевает некоторую точность.

Если бы имелось в виду простое начисление процентов, то расчёт был бы иным:

Начисленные проценты за полгода = \( S \times 10 \% \times 0.5 \) = \( S \times 0.05 \).

Тогда:

\[ S + 0.05S = 210 \]

\[ 1.05S = 210 \]

\[ S = \frac{210}{1.05} = 200 \]

Учитывая, что банки чаще используют сложное начисление процентов, и учитывая формулировку «через полгода под 10 % годовых», более точным будет метод с использованием \( (1 + \text{ставка})^\text{срок} \), где срок — доля года. Округляя результат \( 200.23 \) до ближайшего целого или десятых, получаем 200 или 200.2.

Так как в вопросе есть пропуск «... тыс. руб.», и результат \( 200 \) получается при более простом расчёте (или при округлении \( 200.23 \) до целого), будем считать, что подразумевался именно этот вариант.

Проверка: Если положить 200 тыс. руб. под 10% годовых на полгода (0.5 года) со сложным процентом, то:

\[ 200 \times (1 + 0.10)^{0.5} \approx 200 \times 1.0488 \approx 209.76 \]

Если использовать простой процент:

\[ 200 + (200 \times 0.10 \times 0.5) = 200 + 10 = 210 \]

Следовательно, для получения ровно 210 тыс. руб. при 10% годовых за полгода, нужно положить 200 тыс. руб. при условии простого начисления процентов.

Ответ: 200