Для того чтобы расплавить 40 т стали, взятой при начальной температуре 20°С, потребовалось с каменного угля. Определите КПД машины, используемой для этого. Удельная теплота сгорания равна 2,7 · 10^7 Дж/кг.

Дано:

• \[ m = 40 \text{ т} = 40000 \text{ кг} \]
• \[ T_1 = 20^{\circ}\text{С}} \]
• \[ q = 2,7 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг} \]
• \[ c_{стали} = 500 \text{ Дж/(кг} \cdot^{\circ}\text{С})} \text{ (принимаем по справочнику)} \]
• \[ Q_{нагр} = c_{стали} · m · \Delta T \]

Найти:

• \[ \eta \text{ (КПД)} \]

Решение:

1. Рассчитаем количество теплоты, необходимое для плавления стали:\[ Q_{полн} = Q_{нагр} + Q_{пл} \]
2. В данном случае, поскольку температура плавления стали (1538°С) значительно выше начальной температуры, основным затратами будет нагрев. Учтем, что для плавления требуется еще определенное количество теплоты (удельная теплота плавления стали ~250 кДж/кг), но в условии не указана, поэтому будем считать, что все тепло идет на нагрев до точки плавления.
3. В этом случае, необходимо узнать удельную теплоемкость стали и температуру плавления. По справочным данным:\[ c_{стали} \approx 500 \text{ Дж/(кг} \cdot^{\circ}\text{С})} \]
4. \[ T_{пл} = 1538^{\circ}\text{С}} \]
5. \[ \Delta T = T_{пл} - T_1 = 1538^{\circ}\text{С} - 20^{\circ}\text{С} = 1518^{\circ}\text{С}} \]
6. \[ Q_{нагр} = 500 \text{ Дж/(кг} \cdot^{\circ}\text{С})} \u00B7 40000 \text{ кг} \u00B7 1518^{\circ}\text{С}} = 3,036 \cdot 10^{10} \text{ Дж} \]
7. Рассчитаем количество теплоты, выделяемое при сгорании угля:\[ Q_{выд} = q \u00B7 m_{угля} \]
8. В условии не указана масса угля, поэтому примем ее за условную единицу, например, 1 кг, для расчета КПД.
9. Если бы мы знали массу угля, то могли бы рассчитать полное выделенное тепло. КПД определяется как отношение полезно затраченной энергии к общему количеству выделившейся энергии:\[ \eta = \frac{Q_{полн}}{Q_{выд}} \u00B7 100\% \]
10. В данном случае, если принять, что вся энергия угля пошла на нагрев стали (что нереалистично), то:\[ \eta = \frac{3,036 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{2,7 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг} \u00B7 m_{угля}} \times 100\% \]
11. Без массы угля точное значение КПД рассчитать невозможно. Если предположить, что 1 кг угля выделяет достаточно энергии для нагрева, то:\[ Q_{выд} = 2,7 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг} \u00B7 1 \text{ кг} = 2,7 \cdot 10^7 \text{ Дж} \]
12. \[ \eta = \frac{3,036 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{2,7 \cdot 10^7 \text{ Дж}} \times 100\% \approx 1124 \% \]
13. Полученный результат показывает, что энергии от сгорания 1 кг угля недостаточно для нагрева 40 т стали. Это указывает на то, что либо в условии задачи есть недостающие данные (масса угля), либо предполагается другой подход к решению.
14. Если предположить, что вопрос сформулирован иначе, и имеется в виду, сколько угля *потребовалось* для выполнения работы, тогда:\[ m_{угля} = \frac{Q_{полн}}{q} = \frac{3,036 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{2,7 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}} \approx 1124,4 \text{ кг} \]
15. В таком случае, если бы мы знали, сколько энергии выделяет 1 кг угля, мы бы нашли КПД. Без этой информации задача не решается однозначно.

Ответ: Для точного расчета КПД необходима масса сгоревшего каменного угля. Если предположить, что 1124,4 кг угля было сожжено, то КПД машины будет равен 100% (при идеальных условиях).