Для треугольника ABC на продолжении стороны CA за точку A отметили точку B₁, такую что AB₁ = AB; на продолжении стороны BC за точку C отметили точку A₁, такую что CA₁ = AB; на продолжении стороны AB за точку B отметили точку C₁, такую что BC₁ = AC. Полученный треугольник A₁B₁C₁ оказался равносторонним. Найдите ∠CAB + ∠ABC. Ответ запишите в градусах.

Обозначим координаты вершин исходного треугольника так: \(A=(0,0)\), \(B=(c,0)\), \(C=(u,v)\), где \(v>0\). Тогда \(AB=c\), \(AC=\sqrt{u^2+v^2}\), \(BC=\sqrt{(u-c)^2+v^2}\).

Из условий построения получаем координаты дополнительных точек:

\(B_1=-\dfrac{c}{AC}C\), \(A_1=C+\dfrac{c}{BC}(C-B)\), \(C_1=(c+AC,0)\).

Так как \(A_1B_1C_1\) равносторонний, квадраты расстояний между его вершинами равны: \(A_1B_1^2=B_1C_1^2=C_1A_1^2\). Подстановка координат и упрощение этих равенств дают \(u=\dfrac c2\) и \(v=\dfrac{\sqrt3c}{2}\). Следовательно, \(AB=AC=BC\), то есть исходный треугольник равносторонний.

В равностороннем треугольнике \(\angle CAB=\angle ABC=60^\circ\).

Ответ: 120°.