Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 3 определенных мальчика должны войти в команду?

Для решения этой задачи нам необходимо использовать комбинаторику, а именно сочетания. Так как 3 мальчика уже определены в команде, нам нужно выбрать оставшихся 2 мальчика из оставшихся 7 (10 - 3 = 7). Число способов выбрать 2 мальчика из 7 можно рассчитать с помощью формулы сочетаний: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Где n - общее количество элементов, k - количество элементов для выбора, а ! обозначает факториал числа. В нашем случае n = 7, k = 2. $$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$$ Таким образом, существует 21 способ сформировать команду, если 3 определенных мальчика должны в нее войти. Ответ: 21