Для x(t)=t^3-9t^2+24t найдите моменты времени, когда точка меняет направление движения.

Решение:

Чтобы найти моменты времени, когда точка меняет направление движения, нужно найти производную функции x(t) и приравнять её к нулю. Производная функции x(t) — это скорость v(t).

Дана функция положения точки: \( x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t \)

1. Найдём производную функции x(t) по времени t, чтобы получить функцию скорости v(t):
   \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 9t^2 + 24t) = 3t^2 - 18t + 24 \]
2. Точка меняет направление движения, когда её скорость равна нулю, то есть v(t) = 0. Приравняем производную к нулю:
   \[ 3t^2 - 18t + 24 = 0 \]
3. Разделим уравнение на 3 для упрощения:
   \[ t^2 - 6t + 8 = 0 \]
4. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета: \( t_1 + t_2 = 6 \) и \( t_1 \cdot t_2 = 8 \). Корни этого уравнения: \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = 4 \).
5. Для проверки можно найти дискриминант:
   \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
   \[ t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
   \[ t_1 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
   \[ t_2 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
6. Таким образом, скорость точки равна нулю в моменты времени \( t = 2 \) и \( t = 4 \). В эти моменты точка меняет направление движения.

Ответ: Точка меняет направление движения в моменты времени \( t = 2 \) и \( t = 4 \).