Для задания 17 необходимо записать полное решение, включающее запись краткого условия задачи (Дано), запись формул, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи, а также математические преобразования и расчёты, приводящие к числовому ответу. 17. С какой скоростью проходит груз пружинного маятника, имеющий массу 0,1 кг, положение равновесия, если жесткость пружины 40 Н/м, а амплитуда колебаний 2 см?

Дано:

• $$m = 0,1 \text{ кг}$$
• $$k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$$
• $$A = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$$

Найти: $$v = ?$$

Решение:

1. Полная энергия пружинного маятника равна сумме кинетической и потенциальной энергий: $$E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$$, где $$x$$ - смещение от положения равновесия.
2. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна: $$E = \frac{mv_{max}^2}{2}$$.
3. Полная энергия также может быть выражена через амплитуду колебаний: $$E = \frac{kA^2}{2}$$.
4. Приравниваем два выражения для полной энергии: $$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$$.
5. Выражаем максимальную скорость: $$v_{max} = \sqrt{\frac{kA^2}{m}} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$$.
6. Подставляем численные значения: $$v_{max} = 0,02 \sqrt{\frac{40}{0,1}} = 0,02 \sqrt{400} = 0,02 \cdot 20 = 0,4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Ответ: 0,4 м/с