До какой температуры $$t_1$$ следует нагреть медный куб, чтобы куб, поставленный на лёд, мог полностью в него погрузиться? Температура льда $$t_2 = 0$$ °С. Удельная теплоёмкость меди равна $$c = 400$$ Дж/(кг.°С). Удельная теплота плавления льда $$\lambda = 340$$ кДж/кг. Плотности меди и льда равны $$\rho_1 = 8900$$ кг/м³ и $$\rho_2 = 900$$ кг/м³ соответственно. Ответ выразить в °С, округлив до целых.

Для решения этой задачи нам потребуется приравнять тепло, отданное медным кубом, теплу, необходимому для плавления льда. Обозначим массу льда, который должен растаять, как $$m_{льда}$$.

Тепло, отданное медным кубом при охлаждении от температуры $$t_1$$ до $$0$$ °С:

$$Q_{отданное} = c \cdot m_{меди} \cdot (t_1 - t_2)$$

Тепло, необходимое для плавления льда:

$$Q_{плавления} = \lambda \cdot m_{льда}$$

Приравняем эти количества тепла:

$$c \cdot m_{меди} \cdot (t_1 - t_2) = \lambda \cdot m_{льда}$$

Нам нужно выразить $$t_1$$:

$$t_1 = \frac{\lambda \cdot m_{льда}}{c \cdot m_{меди}} + t_2$$

Масса льда, который должен растаять, связана с объемом вытесненной части куба (или объемом куба, который погрузился в лед) и плотностью льда:

$$m_{льда} = \rho_2 \cdot V_{погруженной части}$$

Так как куб должен полностью погрузиться в лёд, то $$V_{погруженной части} = V_{меди}$$. Тогда:

$$m_{льда} = \rho_2 \cdot V_{меди}$$

Массу медного куба можно выразить через его объем и плотность:

$$m_{меди} = \rho_1 \cdot V_{меди}$$

Подставим выражения для $$m_{льда}$$ и $$m_{меди}$$ в формулу для $$t_1$$:

$$t_1 = \frac{\lambda \cdot \rho_2 \cdot V_{меди}}{c \cdot \rho_1 \cdot V_{меди}} + t_2$$

Объем $$V_{меди}$$ сокращается:

$$t_1 = \frac{\lambda \cdot \rho_2}{c \cdot \rho_1} + t_2$$

Подставим численные значения:

$$t_1 = \frac{340 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot 900 \text{ кг/м}^3}{400 \text{ Дж/(кг \cdot °C)} \cdot 8900 \text{ кг/м}^3} + 0 \text{ °C}$$

$$t_1 = \frac{340000 \cdot 900}{400 \cdot 8900} \text{ °C} = \frac{3400 \cdot 9}{4 \cdot 89} \text{ °C} = \frac{30600}{356} \text{ °C} \approx 86 \text{ °C}$$

Округлим до целых:

$$t_1 \approx 86 \text{ °C}$$

Ответ: 86 °C.