9 Дохожите что системо што имеет решение; и поидите се Мотрииньки способом x + 2y - 3z = 12, 4.2x - y + 4z = -14, { x + 3y - 2z = 11.

Здравствуйте! Сейчас я помогу вам решить данную задачу.

Для доказательства, что система имеет решение, и нахождения этого решения матричным способом, выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений в матричном виде:

$$AX = B$$

где

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 12 \\ -14 \\ 11 \end{bmatrix}$$

2. Вычислим определитель матрицы A:

$$det(A) = 1 \cdot ((-1) \cdot (-2) - 4 \cdot 3) - 2 \cdot (2 \cdot (-2) - 4 \cdot 1) + (-3) \cdot (2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) = 1 \cdot (2 - 12) - 2 \cdot (-4 - 4) - 3 \cdot (6 + 1) = -10 + 16 - 21 = -15$$

Так как определитель матрицы A не равен нулю, система имеет единственное решение.

3. Найдем обратную матрицу $$A^{-1}$$.

Для этого сначала найдем матрицу алгебраических дополнений:

$$C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}$$

где

$$C_{11} = (-1) \cdot (-2) - 4 \cdot 3 = 2 - 12 = -10$$

$$C_{12} = -(2 \cdot (-2) - 4 \cdot 1) = -(-4 - 4) = 8$$

$$C_{13} = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7$$

$$C_{21} = -(2 \cdot (-2) - (-3) \cdot 3) = -(-4 + 9) = -5$$

$$C_{22} = 1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1 = -2 + 3 = 1$$

$$C_{23} = -(1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) = -(3 - 2) = -1$$

$$C_{31} = 2 \cdot 4 - (-3) \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$$

$$C_{32} = -(1 \cdot 4 - (-3) \cdot 2) = -(4 + 6) = -10$$

$$C_{33} = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 = -1 - 4 = -5$$

$$C = \begin{bmatrix} -10 & 8 & 7 \\ -5 & 1 & -1 \\ 5 & -10 & -5 \end{bmatrix}$$

Тогда транспонированная матрица алгебраических дополнений:

$$C^T = \begin{bmatrix} -10 & -5 & 5 \\ 8 & 1 & -10 \\ 7 & -1 & -5 \end{bmatrix}$$

Обратная матрица:

$$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot C^T = \frac{1}{-15} \cdot \begin{bmatrix} -10 & -5 & 5 \\ 8 & 1 & -10 \\ 7 & -1 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{8}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{3} \\ -\frac{7}{15} & \frac{1}{15} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$$

4. Найдем решение системы уравнений:

$$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{8}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{3} \\ -\frac{7}{15} & \frac{1}{15} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 12 \\ -14 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \cdot 12 + \frac{1}{3} \cdot (-14) - \frac{1}{3} \cdot 11 \\ -\frac{8}{15} \cdot 12 - \frac{1}{15} \cdot (-14) + \frac{2}{3} \cdot 11 \\ -\frac{7}{15} \cdot 12 + \frac{1}{15} \cdot (-14) + \frac{1}{3} \cdot 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{24 - 14 - 11}{3} \\ \frac{-96 + 14 + 110}{15} \\ \frac{-84 - 14 + 55}{15} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{28}{15} \\ -\frac{43}{15} \end{bmatrix}$$

Таким образом,

$$x = -\frac{1}{3}, y = \frac{28}{15}, z = -\frac{43}{15}$$

Ответ: $$x = -\frac{1}{3}, y = \frac{28}{15}, z = -\frac{43}{15}$$