Доказать: ∠AOB = 2∠CAB.

Ответ: ∠AOB = 2∠CAB

1. Соединим точки O и B.
2. OA и OB - радиусы окружности, следовательно, OA = OB.
3. Треугольник OAB - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
4. Прямая AC - касательная к окружности в точке A, следовательно, угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90 градусов: ∠OAC = 90°.
5. Угол CAB является частью угла OAC, поэтому: ∠CAB = ∠OAC - ∠OAB = 90° - ∠OAB.
6. Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB.
7. Угол AOB является центральным, и он равен 180° - 2∠OAB (так как сумма углов в треугольнике AOB равна 180°, и углы OAB и OBA равны).
8. Выразим угол AOB через угол CAB: ∠AOB = 180° - 2∠OAB = 2(90° - ∠OAB) = 2∠CAB.

Ответ: ∠AOB = 2∠CAB