Доказать: \(\angle\) 2 = 2\(\angle\) 1.

Решение:

В треугольнике \( △ AOC \) \( OA = OC \) (радиусы), следовательно, он равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ OAC = ∠ OCA \).

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Для \( △ AOC \) внешний угол при вершине \( O \) равен \( ∠ 2 \).

Таким образом, \( ∠ 2 = ∠ OAC + ∠ OCA = 2 ∠ OCA \).

Угол \( ∠ OCA \) и угол \( ∠ 1 \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( AC \) и \( OB \) (не обязательно, рассмотрим другой подход).

Рассмотрим центральный угол \( ∠ AOC \), который равен \( ∠ 2 \).

Угол \( ∠ ABC \) (который равен \( ∠ 1 \)) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AC \).

Центральный угол \( ∠ AOC \) опирается на ту же дугу \( AC \).

По теореме о связи центрального и вписанного углов, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла. То есть, \( ∠ AOC = 2 ∠ ABC \).

Подставляя обозначения из рисунка, получаем \( ∠ 2 = 2 ∠ 1 \).

Что и требовалось доказать.