Доказать, что ABCD — параллелограмм. На рисунке диагонали AC и BD пересекаются в точке O; отмечено, что AO = OC. Также отмечены равенства углов при вершинах B и D, образованных диагональю BD и сторонами BC и AD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA.

1. По условию AO = OC.
2. Углы BOC и DOA — вертикальные, поэтому они равны.
3. По отметкам на рисунке ∠OBC = ∠ODA.
4. Следовательно, треугольники BOC и DOA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5. Из равенства треугольников получаем BC = AD и ∠BCO = ∠DAO.
6. Так как точки A,O,C лежат на одной прямой, равенство углов ∠BCO = ∠DAO означает, что BC ∥ AD.

В четырёхугольнике ABCD одна пара противоположных сторон параллельна и равна: BC ∥ AD и BC = AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.