Доказать, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ — ромб.

По отметкам на рисунке точки A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины сторон прямоугольника ABCD.

Обозначим ширину прямоугольника через AB = CD = h, а длину — через BC = AD = w. Тогда каждый отрезок, соединяющий середины соседних сторон, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами h/2 и w/2.

Например, треугольник AA₁D₁ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\(A_1D_1^2=(h/2)^2+(w/2)^2\).

Аналогично для остальных сторон внутреннего четырёхугольника:

\(A_1B_1^2=B_1C_1^2=C_1D_1^2=D_1A_1^2=(h/2)^2+(w/2)^2\).

Следовательно, все четыре стороны четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ равны, значит, он является ромбом.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — ромб.