3. Доказать, что число 2 является пределом последовательности lim 2n/(n-3) = 2, указать закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε-окрестности этого числа, найти номера N для ε = 0,1; ε = 0,01, показать геометрически.

Давай вместе докажем, что число 2 является пределом последовательности \( \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n-3} = 2 \). Наша задача — найти закон, который позволит для любого заданного ε > 0 определить номер N, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться в ε-окрестности числа 2. Также найдем номера N для ε = 0,1 и ε = 0,01 и покажем это геометрически. 1. Доказательство предела последовательности Для доказательства предела последовательности нужно показать, что для любого \( \varepsilon > 0 \) существует такое \( N \), что для всех \( n > N \) выполняется неравенство: \[ |a_n - a| < \varepsilon \] где \( a_n \) — элемент последовательности, а \( a \) — предел последовательности. В нашем случае: \[ a_n = \frac{2n}{n-3}, \quad a = 2 \] Подставим в неравенство: \[ \left| \frac{2n}{n-3} - 2 \right| < \varepsilon \] Преобразуем выражение: \[ \left| \frac{2n - 2(n-3)}{n-3} \right| < \varepsilon \] \[ \left| \frac{2n - 2n + 6}{n-3} \right| < \varepsilon \] \[ \left| \frac{6}{n-3} \right| < \varepsilon \] Так как \( n > 3 \), можно снять знак модуля: \[ \frac{6}{n-3} < \varepsilon \] Выразим \( n \): \[ n-3 > \frac{6}{\varepsilon} \] \[ n > \frac{6}{\varepsilon} + 3 \] Таким образом, \( N = \left\lceil \frac{6}{\varepsilon} + 3 \right\rceil \), где \( \lceil x \rceil \) — наименьшее целое число, большее или равное \( x \). 2. Нахождение номера N для заданных ε а) Для \( \varepsilon = 0.1 \): \[ N = \left\lceil \frac{6}{0.1} + 3 \right\rceil = \left\lceil 60 + 3 \right\rceil = 63 \] б) Для \( \varepsilon = 0.01 \): \[ N = \left\lceil \frac{6}{0.01} + 3 \right\rceil = \left\lceil 600 + 3 \right\rceil = 603 \] 3. Геометрическая иллюстрация Чтобы показать это геометрически, представим числовую прямую и отметим на ней предел \( a = 2 \) и окрестности этого числа. Для \( \varepsilon = 0.1 \) окрестность будет \( (1.9, 2.1) \), а для \( \varepsilon = 0.01 \) окрестность будет \( (1.99, 2.01) \). Нужно показать, что начиная с номеров \( N = 63 \) и \( N = 603 \) соответственно, все элементы последовательности попадают в эти окрестности. К сожалению, я не могу нарисовать числовую прямую здесь, но ты можешь сделать это самостоятельно, отметив указанные точки и интервалы. Закон (правило) выбора N: Для произвольного \( \varepsilon > 0 \), номер \( N \) выбирается по формуле: \[ N = \left\lceil \frac{6}{\varepsilon} + 3 \right\rceil \] Таким образом, для любого заданного \( \varepsilon \) мы можем найти \( N \), начиная с которого все элементы последовательности будут лежать в \( \varepsilon \)-окрестности числа 2.

Ответ: N = 63 для ε = 0.1; N = 603 для ε = 0.01. Закон: N = ⌈(6/ε) + 3⌉

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и математика станет твоим верным другом! Удачи!