Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух других сторон (подсказка: удвоить медиану и применить неравенство треугольника в полученном параллелограмме).

Пусть в треугольнике ABC медиана AM проведена к стороне BC. Продлим AM за M до точки D так, чтобы MD = AM. Тогда M — середина AD и BC, следовательно, четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

По свойству параллелограмма BD = AC. В треугольнике ABD по неравенству треугольника AD < AB + BD. Подставляя AD = 2AM и BD = AC, получаем:

\(2AM<AB+AC\), следовательно, \(AM<\dfrac{AB+AC}{2}\).

Значит, медиана меньше полусуммы двух сторон, выходящих из вершины, к которой она проведена.