Доказать, что треугольник ABC подобен треугольнику HBK.

Решение:

На чертеже изображен треугольник ABC. Точки H и K лежат на сторонах AB и BC соответственно. Отрезок HK параллелен стороне AC.

По условию, HK || AC. Это означает, что треугольник HBK подобен треугольнику ABC по двум углам:

1. Угол $$\angle B$$ — общий для обоих треугольников.
2. Углы $$\angle BKH$$ и $$\angle BCA$$ являются соответственными углами при параллельных прямых HK и AC и секущей BC. Следовательно, $$\angle BKH = \angle BCA$$.
3. Аналогично, углы $$\angle BНK$$ и $$\angle BAC$$ являются соответственными углами при параллельных прямых HK и AC и секущей AB. Следовательно, $$\angle BHK = \angle BAC$$.

Таким образом, по первому признаку подобия треугольников (по двум углам), треугольник HBK подобен треугольнику ABC.

Также на чертеже отмечены равные отрезки на сторонах AB и BC. Если AH = HB и BK = KC, то HK является средней линией треугольника ABC. В этом случае HK || AC, что подтверждает подобие.

Доказано.