Доказать, что \((\vec a+\vec b)(\vec b+\vec c)(\vec c+\vec a)=2\vec a\vec b\vec c\).

Раскроем смешанное произведение по линейности в каждом аргументе:

\((\vec a+\vec b)(\vec b+\vec c)(\vec c+\vec a)\).

При раскрытии получаются восемь слагаемых. Все слагаемые, в которых повторяется один из векторов, равны нулю. Остаются:

\(\vec a\vec b\vec c+\vec b\vec c\vec a\).

Циклическая перестановка аргументов не меняет смешанного произведения, поэтому \(\vec b\vec c\vec a=\vec a\vec b\vec c\). Следовательно, сумма равна \(2\vec a\vec b\vec c\).

Ответ: \((\vec a+\vec b)(\vec b+\vec c)(\vec c+\vec a)=2\vec a\vec b\vec c\).