4 Доказать перпендикулярность плоскостей $$AMD$$ и $$ABC$$.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $$AMD$$ и $$ABC$$ воспользуемся тем, что если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Предположим, что $$MA = MB$$, и $$O$$ – середина $$AB$$. Тогда $$MO$$ – медиана, а значит, и высота в равнобедренном треугольнике $$MAB$$, то есть $$MO \perp AB$$.

Аналогично, если $$CA = CB$$, то $$CO \perp AB$$.

Таким образом, $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$MO$$ и $$CO$$ в плоскости $$MOC$$. Следовательно, $$AB \perp (MOC)$$.

Пусть $$D$$ – точка пересечения $$MC$$ и $$AD$$. Тогда $$AD$$ лежит в плоскости $$ABC$$.

Если $$MC \perp AD$$, то плоскости $$AMD$$ и $$ABC$$ перпендикулярны, так как плоскость $$AMD$$ содержит прямую $$MC$$, перпендикулярную плоскости $$ABC$$.

Если $$AM = AC$$ и $$MD = CD$$, то $$AD \perp MC$$.

Рассмотрим плоскость $$MOC$$.

1) $$MO \perp AB$$

2) $$CO \perp AB$$

Тогда плоскость $$MOC$$ перпендикулярна $$AB$$, а значит, и любой прямой в плоскости $$ABC$$, проходящей через точку $$O$$.

В частности, $$MC \perp AD$$. Значит плоскость $$AMD$$ перпендикулярна $$ABC$$, так как $$MC$$ принадлежит $$AMD$$ и $$MC$$ перпендикулярна $$AD$$, которая лежит в плоскости $$ABC$$.

Ответ: Доказано.