Доказать теорему: медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его гипотенузы. Через удвоение медианы. (BM — медиана, ∠B = 90°. Начать доказательство с: удвоим медиану BM.)

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 90°, а BM — медиана к гипотенузе AC. Значит, M — середина AC.

1. Удвоим медиану BM: продолжим отрезок BM за точку M до точки D так, чтобы MD = BM. Тогда M — середина отрезка BD.
2. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M и делятся этой точкой пополам: M — середина AC и M — середина BD.
3. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
4. Так как ∠B = 90°, параллелограмм ABCD является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны, поэтому AC = BD.
5. По построению BD = BM + MD = 2BM.
6. Следовательно, AC = 2BM, откуда BM = \(\frac{AC}{2}\).

Ответ: медиана BM, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: \(BM = \frac{AC}{2}\).