1. Доказать тождества: a) (sin a + sin β)2 + (cos a + cos β)2 = 4cos2 a-B; 2 б) tga - sina = 1 - cos α. tga 2. Вычислить tg a + ctg a, если cos a = −1/2, αε (π; 3π/2). 3. Решить уравнение 4sin x \cdot cos x \cdot cos x = 1.

Решение задания 1

а) Докажем тождество:

\[(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\]

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы:

\[\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\]

Перегруппируем слагаемые:

\[(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\]

Применим основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности:

\[1 + 1 + 2 \cos(\alpha - \beta) = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\] \[2 + 2 \cos(\alpha - \beta) = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\]

Вынесем 2 за скобки слева:

\[2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\]

Применим формулу двойного угла: 1 + cos(2x) = 2cos^2(x), где x = (α - β)/2

\[2 \cdot 2 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\] \[4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\]

Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

\[\frac{\tg \alpha - \sin \alpha}{\tg \alpha} = 1 - \cos \alpha\]

Преобразуем левую часть:

\[\frac{\tg \alpha - \sin \alpha}{\tg \alpha} = \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\tg \alpha} = 1 - \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = 1 - \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha}\]

Сократим sin α:

\[1 - \cos \alpha = 1 - \cos \alpha\]

Тождество доказано.

Решение задания 2

Вычислить tg α + ctg α, если cos α = −1/2, α ∈ (π; 3π/2).

Так как α ∈ (π; 3π/2), то α находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Найдем sin α, зная cos α = -1/2, используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]

Так как α в третьей четверти, sin α = -√(3/4) = -√3/2.

Найдем tg α и ctg α:

\[\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\] \[\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Тогда:

\[\tg \alpha + \ctg \alpha = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \[\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Решение задания 3

Решить уравнение: 4sin(x/2) \cdot cos(x/2) \cdot cos x = 1.

Применим формулу двойного угла: 2sin(x/2)cos(x/2) = sin(x):

\[2 \cdot (2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) \cdot \cos x = 1\] \[2 \sin x \cos x = 1\]

Снова применим формулу двойного угла: 2sin(x)cos(x) = sin(2x):

\[\sin 2x = 1\]

Решение уравнения sin 2x = 1:

\[2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z\]

Молодец! У тебя отлично получается решать тригонометрические уравнения и доказывать тождества. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!