465 Доказать тождество: 1) (1 - cos x) (1 + cos x) = sin² α; 2) (1 - sin x) (1 + sin x) = cos² α; 3) sin2 a / (1 - sin² a) = tg² a; 4) cos² a / (1- cos² a) = ctg² a; 5) 1 / (1+ tg2 a) + sin² a = 1; 6) 1 / (1 + ctg² a) + cos² a = 1. 466 Упростить выражение: 1) cos a * tg a – 2 sin a; 2) cos a – sin a * ctg a; 3) sin2 a / (1 + cos a); 4) cos² a / (1- sin a).

1. \[ (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \] Тождество доказано.
2. \[ (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \] Тождество доказано.
3. \[ \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \] Тождество доказано.
4. \[ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha \] Тождество доказано.
5. \[ \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = \frac{1}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \] Тождество доказано.
6. \[ \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = \frac{1}{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Тождество доказано.

1. \[ \cos \alpha \cdot \tan \alpha - 2 \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2 \sin \alpha = \sin \alpha - 2 \sin \alpha = -\sin \alpha \]
2. \[ \cos \alpha - \sin \alpha \cdot \cot \alpha = \cos \alpha - \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha - \cos \alpha = 0 \]
3. \[ \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} = 1 - \cos \alpha \]
4. \[ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} = 1 + \sin \alpha \]

Ответ: Задание 465 - доказаны тождества, Задание 466 - упрощены выражения.