Доказать тождество: 1) 3 cos 2x + sin² α cos² α = 2 cos 2α; sin 5a - sin 3a 2) = sin a. 2 cos 40

1) Докажем тождество: \( 3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2 \cos 2\alpha \) Преобразуем левую часть: \[ 3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 3 \cos 2\alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \] Используем формулу \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \): \[ 3 \cos 2\alpha - \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \] Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано. 2) Докажем тождество: \( \frac{\sin 5a - \sin 3a}{2 \cos 4a} = \sin a \) Используем формулу разности синусов: \( \sin x - \sin y = 2 \cos(\frac{x+y}{2}) \sin(\frac{x-y}{2}) \) \[ \sin 5a - \sin 3a = 2 \cos(\frac{5a + 3a}{2}) \sin(\frac{5a - 3a}{2}) = 2 \cos(4a) \sin(a) \] Подставим в исходное выражение: \[ \frac{2 \cos(4a) \sin(a)}{2 \cos(4a)} = \sin(a) \] Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождества доказаны.

1) Доказательство первого тождества Преобразуем левую часть: \[ 3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 3 \cos 2\alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \] Используем формулу \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \): \[ 3 \cos 2\alpha - \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \] 2) Доказательство второго тождества Используем формулу разности синусов: \[ \sin 5a - \sin 3a = 2 \cos(\frac{5a + 3a}{2}) \sin(\frac{5a - 3a}{2}) = 2 \cos(4a) \sin(a) \] Подставим в исходное выражение: \[ \frac{2 \cos(4a) \sin(a)}{2 \cos(4a)} = \sin(a) \]

Ответ: Тождества доказаны.