Доказать тождество: 2) \(\dfrac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\).

Применим формулу разности синусов: \(\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\).

При \(x=5\alpha\), \(y=3\alpha\):

\[\sin 5\alpha-\sin 3\alpha=2\cos 4\alpha\sin\alpha.\]

Следовательно, при \(\cos 4\alpha\ne 0\), когда исходная дробь определена:

\[\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\frac{2\cos 4\alpha\sin\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha.\]

Ответ: тождество доказано для всех значений \(\alpha\), при которых \(\cos 4\alpha\ne 0\).