Доказать тождество. cos 2a + cos(π/2 - a) sina / sin(π/2 + a) = cos a

Решение:

Преобразуем левую часть тождества, используя тригонометрические формулы приведения:

\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) \)

\( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) \)

Подставим эти значения в исходное выражение:

\( \frac{\cos(2\alpha) + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

Упростим числитель:

\( \frac{\cos(2\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) \):

\( \frac{1 - 2\sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

\( \frac{1 - \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), откуда \( 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) \):

\( \frac{\cos^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

Сокращаем:

\( \cos(\alpha) \)

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.