Доказательство. Пусть MN — средняя линия треугольника ABC. Докажем, что MN ∥ [фрагмент условия закрыт] и MN = [фрагмент условия закрыт] AC. На прямой MN отметим точку E так, что MN = [фрагмент закрыт]. Соединим точки E и C. Поскольку точка N является серединой отрезка BC, то [фрагмент закрыт] = N[фрагмент закрыт]. Кроме того, углы 1 и 2 равны как [фрагмент закрыт]. Следовательно, треугольники MBN и [фрагмент закрыт] равны по [фрагмент закрыт] признаку равенства треугольников. Отсюда MB = [фрагмент закрыт] и ∠3 = ∠[фрагмент закрыт].

На фотографии существенные части текста закрыты, а нижняя часть доказательства обрезана. Поэтому нельзя достоверно восстановить все пропуски и обозначения углов; для полного заполнения пришлите изображение без перекрытий и целиком.

Из видимого текста и стандартного доказательства свойства средней линии следует: если M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC, то MN ∥ AC и MN = ½ AC.

Краткий ход: на прямой MN выбирают E так, чтобы N была серединой ME, то есть MN = NE. Так как N — середина BC, BN = NC. Углы MNB и ENC равны как вертикальные. Поэтому треугольники MBN и ECN равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда MB = EC и соответствующие углы равны. Поскольку M — середина AB, MB = MA; значит, MA = EC. Из расположения точек следует, что MA ∥ EC, поэтому четырёхугольник MAEC — параллелограмм. Следовательно, ME ∥ AC и ME = AC. Так как MN = ½ ME, получаем MN = ½ AC, а MN ∥ AC.