Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если А(16; 2), В(22; 8), C(20; 10) и D(14; 4).

Докажем, что ABCD - прямоугольник. Для этого нужно показать, что его стороны попарно параллельны и углы между смежными сторонами прямые.

Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам:

• $$\overrightarrow{AB} = (22-16; 8-2) = (6; 6)$$
• $$\overrightarrow{BC} = (20-22; 10-8) = (-2; 2)$$
• $$\overrightarrow{CD} = (14-20; 4-10) = (-6; -6)$$
• $$\overrightarrow{DA} = (16-14; 2-4) = (2; -2)$$

Проверим параллельность сторон:

• $$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$$, так как $$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}$$
• $$\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$$, так как $$\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$$

Проверим перпендикулярность смежных сторон (скалярное произведение должно быть равно 0):

• $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 6 \cdot (-2) + 6 \cdot 2 = -12 + 12 = 0$$
• $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-2) \cdot (-6) + 2 \cdot (-6) = 12 - 12 = 0$$

Таким образом, ABCD - прямоугольник.

Найдем длины сторон AB и BC:

• $$AB = \sqrt{(6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$
• $$BC = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Площадь прямоугольника ABCD:

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 12 \cdot 2 = 24$$

Ответ: $$S_{ABCD} = 24$$