Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(11; 2), B(19; 10), C(13; 16) и D(5; 8).

Найдём векторы сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(19-11;\,10-2)=(8;8)\), \(\overrightarrow{BC}=(13-19;\,16-10)=(-6;6)\).

Также \(\overrightarrow{CD}=(5-13;\,8-16)=(-8;-8)=-\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{DA}=(11-5;\,2-8)=(6;-6)=-\overrightarrow{BC}\). Значит, противоположные стороны попарно параллельны и равны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Проверим, что соседние стороны перпендикулярны: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=8\cdot(-6)+8\cdot6=0\). Следовательно, угол B прямой, и параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Длины соседних сторон: \(AB=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt2\), \(BC=\sqrt{(-6)^2+6^2}=6\sqrt2\).

Площадь: \(S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\sqrt2\cdot6\sqrt2=96\).

Ответ: ABCD — прямоугольник; \(S_{ABCD}=96\) кв. ед.