4. Докажите, что ∠AFN = ∠MNF (рис. 61), если известно, что AN = FM и AN | FM.

Для доказательства того, что ∠AFN = ∠MNF, рассмотрим рисунок 61, где AN = FM и AN || FM. Это означает, что ANMF - параллелограмм (по признаку: если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм).

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, AF || NM. ∠AFN и ∠MNF являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AF и NM и секущей FN. По свойству накрест лежащих углов, если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.

Таким образом, ∠AFN = ∠MNF.

Ответ: ∠AFN = ∠MNF