Докажите, что: а) $\dfrac{(x-2y)^2}{x^2+4y^2}+\dfrac{(x+2y)^2}{x^2+4y^2}$ равно 2; б) выражение $\dfrac{(2a-3b)^2}{8ab}-\dfrac{(2a+3b)^2}{8ab}$ тождественно равно −3.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите, что: а) $\dfrac{(x-2y)^2}{x^2+4y^2}+\dfrac{(x+2y)^2}{x^2+4y^2}$ равно 2; б) выражение…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(x-2y)^2+(x+2y)^2}{x^2+4y^2}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{x^2-4xy+4y^2+x^2+4xy+4y^2}{x^2+4y^2}=\frac{2x^2+8y^2}{x^2+4y^2}.\]

Вынесем общий множитель 2:

\[\frac{2(x^2+4y^2)}{x^2+4y^2}=2.\]

б)

Объединим дроби:

\[\frac{(2a-3b)^2-(2a+3b)^2}{8ab}.\]

Применим формулу разности квадратов:

\[(2a-3b)^2-(2a+3b)^2=((2a-3b)-(2a+3b))((2a-3b)+(2a+3b)).\]

\[=(-6b)\cdot 4a=-24ab.\]

Тогда

\[\frac{-24ab}{8ab}=-3.\]

Тождества верны при допустимых значениях переменных: в первом случае $x^2+4y^2\ne0$, во втором — $ab\ne0$.

Ответ: а) 2; б) −3.

Докажите, что: а) \(\dfrac{(x-2y)^2}{x^2+4y^2}+\dfrac{(x+2y)^2}{x^2+4y^2}\) равно 2; б) выражение \(\dfrac{(2a-3b)^2}{8ab}-\dfrac{(2a+3b)^2}{8ab}\) тождественно равно −3.