Докажите, что ABCD — параллелограмм. 1) На рисунке проведена диагональ DB; ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3. 2) На рисунке отмечено: AD = BC и AB = CD. 3) На рисунке проведены диагонали AC и BD; ∠BAC = ∠ACD, ∠ABD = ∠CDB. 4) Проведена диагональ AC; AB = CD и ∠BAC = ∠ACD. 5) Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OC, DO = OB. 6) ΔABD = ΔCDB.

1. Диагональ DB является секущей.

1. Из равенства ∠1 и ∠4 следует, что DC ∥ AB.
2. Из равенства ∠2 и ∠3 следует, что AD ∥ BC.

В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

2. По рисунку AD = BC и AB = CD. В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

3. Из равенства ∠BAC = ∠ACD следует, что AB ∥ CD. Из равенства ∠ABD = ∠CDB следует, что AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

4. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них:

• AB = CD по условию;
• AC — общая сторона;
• ∠BAC = ∠ACD по условию.

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ∠BCA = ∠CAD, откуда BC ∥ AD. Также AB ∥ CD по равенству накрест лежащих углов ∠BAC и ∠ACD.

Значит, ABCD — параллелограмм.

5. Точка O — середина диагонали AC, так как AO = OC, и середина диагонали BD, так как DO = OB. Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

6. По условию ΔABD = ΔCDB. Из равенства соответствующих сторон получаем:

AB = CD, AD = CB.

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.