1. Докажите, что АО = ОС, если угол А и угол С прямые, а ВО = OD. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 10° больше другого. Найдите эти углы. 3. В равнобедренном треугольнике АВС (АС — основание) проведена высота ВН, равная 10 см. Найдите АВ, если угол АВС равен 120°. 4. В равнобедренном треугольнике MNK (МК - основание) проведены высоты МН и KD. Найдите угол MKD, если угол N равен 50°.

Ответ: Решение в ответе

1. Докажите, что AO = OC, если ∠A = ∠C = 90° и BO = OD.

• Рассмотрим треугольники ABO и CDO.
• BO = OD (по условию).
• ∠A = ∠C = 90° (по условию).
• ∠AOB = ∠COD (как вертикальные).
• Следовательно, ΔABO = ΔCDO (по стороне и двум прилежащим углам).
• Из равенства треугольников следует, что AO = OC.

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 10° больше другого. Найдите эти углы.

• Пусть меньший угол равен x, тогда больший угол равен x + 10°.
• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
• Составим уравнение: x + (x + 10°) = 90°.
• 2x + 10° = 90°.
• 2x = 80°.
• x = 40°.
• Тогда больший угол равен 40° + 10° = 50°.

Ответ: 40° и 50°

3. В равнобедренном треугольнике ABC (AC — основание) проведена высота BH, равная 10 см. Найдите AB, если угол ABC равен 120°.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой.
• ∠ABH = ∠CBH = 120° / 2 = 60°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
• sin(∠ABH) = AH / AB.
• sin(60°) = BH / AB.
• \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 10 / AB.
• AB = 10 / \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{20}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\) см

4. В равнобедренном треугольнике MNK (МК - основание) проведены высоты МН и KD. Найдите угол MKD, если угол N равен 50°.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• ∠M = ∠K.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠M + ∠K + ∠N = 180°.
• 2∠M + 50° = 180°.
• 2∠M = 130°.
• ∠M = 65°.
• Так как KD - высота, то угол KDN = 90 градусов.
• Угол MKD = угол M - угол DKD
• Угол MKD = 65°.

Ответ: 65°

Ответ: Решение в ответе