Докажите, что BD = NT (рис. 72), если KD = КТ и ∠KDB = ∠KTN.

Решение:

Рассмотрим треугольники KBD и KNT.

У нас дано, что \( KD = KT \) и \( \angle KDB = \angle KTN \).

Углы \( \angle DKВ \) и \( \angle NTK \) являются вертикальными, а значит, равны: \( \angle DKВ = \angle NTK \).

По двум углам и стороне между ними (второй признак равенства треугольников), треугольники KBD и KNT равны, если бы сторона BD была между углами \( \angle KDB \) и \( \angle DKВ \), а сторона NT между \( \angle KTN \) и \( \angle NTK \). Но у нас дано равенство сторон \( KD = KT \), которые не являются сторонами между данными углами.

Давайте рассмотрим другую пару признаков. В треугольниках KBD и KNT:

1. \( KD = KT \) (по условию).
2. \( \angle KDB = \angle KTN \) (по условию).
3. \( \angle DKВ = \angle NTK \) (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), если бы сторона была прилежащей к обоим углам, то треугольники были бы равны. Но у нас сторона \( KD \) прилежит к углу \( \angle KDB \) и противолежит углу \( \angle DKВ \). Сторона \( KT \) прилежит к углу \( \angle KTN \) и противолежит углу \( \angle NTK \).

Треугольники KBD и KNT равны по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), если бы мы имели \( DK = KT \) и \( \angle KBD = \angle KNT \), или \( BD = NT \) и \( \angle KBD = \angle KNT \).

Рассмотрим треугольники KBD и KTN. У нас есть:

1. \( KD = KT \) (по условию).
2. \( \angle KDB = \angle KTN \) (по условию).
3. \( \angle BK D = \angle TKN \) (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), если бы сторона \( KD \) была между углами \( \angle DKВ \) и \( \angle KDB \), а сторона \( KT \) между углами \( \angle TKN \) и \( \angle KTN \), то треугольники были бы равны.

В данном случае, по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), треугольники KBD и KNT равны, если бы равны были углы \( \angle K \) и \( \angle K \), и стороны, прилежащие к ним.

Однако, если рассмотреть первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), нам нужно иметь две равные стороны и угол между ними. У нас есть \( KD = KT \), но угол \( \angle DK B \) и \( \angle TKN \) не являются углами между этими сторонами.

Рассмотрим второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. У нас есть сторона \( KD = KT \). Прилежащие к \( KD \) углы в \( \triangle KBD \) — это \( \angle K \) и \( \angle KDB \). Прилежащие к \( KT \) углы в \( \triangle KTN \) — это \( \angle K \) и \( \angle KTN \).

Мы имеем: \( KD = KT \) (дано). \( \angle KDB = \angle KTN \) (дано). \( \angle BK D = \angle TKN \) (вертикальные углы).

Следовательно, \( \triangle KBD = \triangle KNT \) по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( BD = NT \).

Доказано.