Докажите, что биссектриса, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \). Пусть \( BD \) — биссектриса, проведенная к основанию \( AC \).

1. По определению биссектрисы, \( \angle ABD = \angle CBD \).
2. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный, то \( \angle BAC = \angle BCA \).
3. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \):
   
   • \( \angle ABD = \angle CBD \) (по условию, \( BD \) — биссектриса).
   • \( BD \) — общая сторона.
   • \( \angle BAD = \angle BCD \) (углы при основании равнобедренного треугольника).
4. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).
5. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны: \( AD = CD \).

Таким образом, биссектриса \( BD \) делит основание \( AC \) на два равных отрезка \( AD \) и \( CD \). Что и требовалось доказать.