Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

Давайте докажем это утверждение по шагам. **1. Определение биссектрисы, медианы и высоты:** * **Биссектриса** - это отрезок, который делит угол треугольника пополам. * **Медиана** - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. * **Высота** - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. **2. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC:** * Пусть AB = AC (это условие равнобедренности). * Пусть AD - биссектриса угла BAC. **3. Доказательство того, что AD - медиана:** * Так как AD - биссектриса, то ∠BAD = ∠CAD. * Рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них: * AB = AC (по условию). * AD - общая сторона. * ∠BAD = ∠CAD (по определению биссектрисы). * Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). * Из равенства треугольников следует, что BD = CD. Значит, D - середина BC. * Таким образом, AD является медианой, так как соединяет вершину A с серединой стороны BC. **4. Доказательство того, что AD - высота:** * Из равенства треугольников ABD и ACD также следует равенство углов ∠ADB и ∠ADC. * Поскольку ∠ADB и ∠ADC - смежные углы, а их сумма равна 180 градусам, то ∠ADB = ∠ADC = 90 градусам. * Это означает, что AD перпендикулярна BC. Следовательно, AD является высотой, опущенной из вершины A. **5. Заключение:** * Мы доказали, что биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, является одновременно и медианой, и высотой. **Ответ:** Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой, что и требовалось доказать.