8. Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, в котором углы A и B - соседние. Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке P.

Сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180 градусам. То есть, $$∠A + ∠B = 180°$$.

Так как AP и BP - биссектрисы углов A и B соответственно, то $$∠PAB = \frac{1}{2} ∠A$$ и $$∠PBA = \frac{1}{2} ∠B$$.

Рассмотрим треугольник APB. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. То есть, $$∠PAB + ∠PBA + ∠APB = 180°$$.

Подставим известные значения:

$$\frac{1}{2} ∠A + \frac{1}{2} ∠B + ∠APB = 180°$$

$$\frac{1}{2} (∠A + ∠B) + ∠APB = 180°$$

$$\frac{1}{2} (180°) + ∠APB = 180°$$

$$90° + ∠APB = 180°$$

$$∠APB = 180° - 90°$$

$$∠APB = 90°$$

Следовательно, биссектрисы углов A и B пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны.