8. Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.

Пусть АС и ВМ биссектрисы соседних углов А и В параллелограмма.
АВНР пересекаются в точке Е (выполните построение).
Тогда $$∠BAE = \frac{1}{2}\u2220A$$, $$∠ABE = \frac{1}{2}\u2220B$$ (по определению).
В треугольнике АВЕ $$∠BAE + \u2220ABE + \u2220BEA = 180\deg$$,
но $$∠BAE + \u2220ABE = \frac{1}{2}\u2220A + \frac{1}{2}\u2220B = \frac{1}{2}(\u2220A + \u2220B) = 90\deg$$,
так как углы А и В являются односторонними при параллельных прямых АР и ВС и секущей АВ.
Поэтому $$∠BEA = 180\deg - 90\deg = 90\deg$$, а значит, АС$$ \perp $$ВМ.
Эту задачу можно решить другим способом.
Треугольник АВС – равнобедренный (смотри задачу № 7).
Проведем биссектрису ВМ треугольника АВС, так как этот треугольник равнобедренный, ВМ является и высотой АС, то есть AC$$ \perp $$ВМ.