3. Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(-1; 3), Q(-4;-1), T(0;-4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны, углы между сторонами прямые.

1. Найдем длины сторон четырехугольника PSQT, используя формулу расстояния между двумя точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂): $$AB = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}$$.
2. $$PS = \sqrt{(-1 - 3)² + (3 - 0)²} = \sqrt{(-4)² + 3²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$.
3. $$SQ = \sqrt{(-4 - (-1))² + (-1 - 3)²} = \sqrt{(-3)² + (-4)²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.
4. $$QT = \sqrt{(0 - (-4))² + (-4 - (-1))²} = \sqrt{4² + (-3)²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$.
5. $$TP = \sqrt{(3 - 0)² + (0 - (-4))²} = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

Все стороны четырехугольника PSQT равны 5.

1. Теперь нужно проверить, являются ли углы между сторонами прямыми. Для этого проверим перпендикулярность сторон, используя условие перпендикулярности векторов. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
2. Найдем координаты векторов:
3. $$\overrightarrow{PS} = (-1 - 3; 3 - 0) = (-4; 3)$$.
4. $$\overrightarrow{SQ} = (-4 - (-1); -1 - 3) = (-3; -4)$$.
5. Найдем скалярное произведение векторов \overrightarrow{PS} и \overrightarrow{SQ}:$$\overrightarrow{PS} \cdot \overrightarrow{SQ} = (-4) \cdot (-3) + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0$$.

Так как скалярное произведение векторов \overrightarrow{PS} и \overrightarrow{SQ} равно нулю, угол между сторонами PS и SQ прямой.

Аналогично можно проверить, что и остальные углы прямые.

Следовательно, четырехугольник PSQT является квадратом.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

$$S = a² = 5² = 25$$.

Ответ: Четырехугольник PSQT является квадратом, площадь квадрата равна 25.