Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найдите его площадь, если A(13; 2), B(19; 5), C(17; 9) и D(11; 6).

Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=(19-13;\,5-2)=(6;3)\),
\(\overrightarrow{BC}=(17-19;\,9-5)=(-2;4)\).

Проверим перпендикулярность соседних сторон:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot(-2)+3\cdot4=-12+12=0\).

Значит, \(AB\perp BC\). Кроме того,

\(\overrightarrow{CD}=(11-17;\,6-9)=(-6;-3)=-\overrightarrow{AB}\),
\(\overrightarrow{AD}=(11-13;\,6-2)=(-2;4)=\overrightarrow{BC}\).

Следовательно, противоположные стороны попарно параллельны, а один угол прямой. Поэтому ABCD — прямоугольник.

Длины его сторон:

\(AB=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\),
\(BC=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

Площадь прямоугольника:

\(S_{ABCD}=AB\cdot BC=3\sqrt5\cdot2\sqrt5=6\cdot5=30\).

Ответ: 30.