Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) M(1; 1), N(6; 1), P(7; 4), Q(2; 4); б) M(−5; 1), N(−4; 4), P(−1; 5), Q(−2; 2).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а)

Найдём направляющие векторы противоположных сторон:

\(\overrightarrow{MN}=(6-1;\,1-1)=(5;0)\),
\(\overrightarrow{QP}=(7-2;\,4-4)=(5;0)\);

\(\overrightarrow{NP}=(7-6;\,4-1)=(1;3)\),
\(\overrightarrow{MQ}=(2-1;\,4-1)=(1;3)\).

Противоположные стороны имеют соответственно равные направляющие векторы, значит, они параллельны и равны. Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Диагонали:

\(\overrightarrow{MP}=(7-1;\,4-1)=(6;3)\), поэтому
\(MP=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\).

\(\overrightarrow{NQ}=(2-6;\,4-1)=(-4;3)\), поэтому
\(NQ=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5\).

б)

Найдём направляющие векторы противоположных сторон:

\(\overrightarrow{MN}=(-4-(-5);\,4-1)=(1;3)\),
\(\overrightarrow{QP}=(-1-(-2);\,5-2)=(1;3)\);

\(\overrightarrow{NP}=(-1-(-4);\,5-4)=(3;1)\),
\(\overrightarrow{MQ}=(-2-(-5);\,2-1)=(3;1)\).

Противоположные стороны имеют соответственно равные направляющие векторы, значит, они параллельны и равны. Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Диагонали:

\(\overrightarrow{MP}=(-1-(-5);\,5-1)=(4;4)\), поэтому
\(MP=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\).

\(\overrightarrow{NQ}=(-2-(-4);\,2-4)=(-2;-2)\), поэтому
\(NQ=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2\).

Ответ: а) диагонали имеют длины \(3\sqrt5\) и \(5\); б) диагонали имеют длины \(4\sqrt2\) и \(2\sqrt2\).