Докажите, что число 10^316 + 6 не делится на число 10^19 − 1.

Ответ:

\[10^{316} + 6\]

\[Рассмотрим\ число\ 10^{316}\ + \ 6.\ \]

\[Число\ 10^{316}\ состоит\ из\ одной\ единицы\ и\ \ \]

\[316\ нулей.\ \]

\[Тогда\ число\ 10^{316}\ + \ 6\ имеет\ вид\ 100\ldots 06.\ \]

\[Сумма\ цифр\ этого\ числа\ равна\ 7,\ и\ по\ \]

\[признаку\ \ делимости\ оно\ не\ делится\ на\ 9.\ \]

\[Число\ 10^{19}\ состоит\ из\ одной\ единицы\ и\ 19\ \]

\[нулей.\ Поэтому\ число\ 10^{19}\ - \ 1\ состоит\ из\ \]

\[19\ девяток\ (т.\ е.\ 99\ldots 9)\ и\ \ делится\ на\ 9.\]

\[Так\ как\ первое\ число\ 10^{316}\ + \ 6\ не\ имеет\ \]

\[делителя\ 9,\ то\ оно\ не\ может\ без\ остатка\ \]

\[делиться\ на\ второе\ число\ 10^{19}\ - \ 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]