Докажите, что число 2023 * 2025 * 2027 * 2029 + 16 является квадратом натурального числа.

Решение:

Пусть \( x = 2026 \). Тогда данное выражение можно переписать следующим образом:

\( (x-3)(x-1)(x+1)(x+3) + 16 \)

Сгруппируем множители:

\( ((x-3)(x+3))((x-1)(x+1)) + 16 \)

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\( (x^2 - 9)(x^2 - 1) + 16 \)

Раскроем скобки:

\( x^4 - x^2 - 9x^2 + 9 + 16 \)

\( x^4 - 10x^2 + 25 \)

Это выражение является полным квадратом:

\( (x^2 - 5)^2 \)

Подставим \( x = 2026 \) обратно:

\( (2026^2 - 5)^2 \)

Полученное число является квадратом натурального числа \( 2026^2 - 5 \).

Ответ: Доказано.