10. Докажите, что число людей, когда-либо живших на земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно. 11. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

10. Доказательство четности числа людей, сделавших нечетное число рукопожатий

Давай рассуждать логически. Каждый раз, когда два человека пожимают друг другу руки, общее количество рукопожатий увеличивается на 1. Если человек сделал нечетное число рукопожатий, значит, он участвовал в нечетном количестве событий рукопожатий.

Предположим, что у нас есть группа людей. Если мы сложим все рукопожатия, сделанные каждым человеком, то получим удвоенное общее количество рукопожатий (потому что каждое рукопожатие учитывается дважды – для каждого из двух участников).

Пусть N - общее количество людей, когда-либо живших на Земле. Разделим их на две группы: A - люди, сделавшие четное число рукопожатий, и B - люди, сделавшие нечетное число рукопожатий. Обозначим количество людей в группе B как |B|.

Сумма всех рукопожатий, сделанных всеми людьми, будет четной (удвоенное общее количество рукопожатий). Сумма рукопожатий, сделанных людьми из группы A, также будет четной (потому что каждый член этой суммы четный). Следовательно, сумма рукопожатий, сделанных людьми из группы B, также должна быть четной, чтобы общая сумма оставалась четной.

Если каждый человек из группы B сделал нечетное число рукопожатий, то сумма их рукопожатий будет |B| * (нечетное число). Чтобы эта сумма была четной, количество людей в группе B (|B|) должно быть четным числом. Таким образом, число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Ответ: Доказано.

11. Возможность существования 100 дорог в государстве, где из каждого города выходит 3 дороги

Рассмотрим государство, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги. Предположим, что в этом государстве всего N городов. Общее количество дорог можно посчитать, умножив количество городов на количество дорог, выходящих из каждого города, и разделив на 2 (потому что каждая дорога соединяет два города).

Таким образом, общее количество дорог равно \(\frac{3N}{2}\). Если количество дорог равно 100, то \(\frac{3N}{2} = 100\), откуда \(N = \frac{200}{3}\).

Поскольку N должно быть целым числом (количество городов не может быть дробным), то получается, что N не является целым числом (\(\frac{200}{3} \approx 66.67\)). Следовательно, не может быть в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, ровно 100 дорог.

Ответ: Нет, не может.

Ты молодец! У тебя всё получится!