3. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде. 4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3. 5. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними (рис. 107). 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними. 6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. 7. Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. 8. 1) Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ. 2) Докажите, что касательная к окружности не имеет других общих точек, кроме точки касания. 9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу, с касательной в точке А? 10. Найдите углы, под которыми пересекаются продолжения хорды, равной радиусу.

3. Доказательство:

• Пусть AB — хорда окружности, а O — её центр.
• Пусть диаметр CD проходит через середину M хорды AB.
• Тогда AM = MB.
• OM — медиана равнобедренного треугольника AOB (OA = OB как радиусы).
• Следовательно, OM является и высотой, то есть OM перпендикулярна AB.
• Таким образом, диаметр CD перпендикулярен хорде AB.

4. Обратная теорема:

• Если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через середину хорды.

Доказательство:

• Пусть AB — хорда окружности, CD — диаметр, перпендикулярный AB в точке M.
• Рассмотрим треугольник AOB, где OA = OB как радиусы.
• OM — высота в равнобедренном треугольнике AOB.
• Следовательно, OM является и медианой, то есть AM = MB.
• Таким образом, диаметр CD проходит через середину хорды AB.

5.1) Решение:

• Пусть дан диаметр AD и хорда AB, равная радиусу.
• Тогда треугольник AOB — равносторонний (OA = OB = AB = радиус).
• Следовательно, угол AOB = 60°.
• Угол между диаметром и хордой — это угол DAB, который равен половине угла AOB (как вписанный угол, опирающийся на ту же дугу).
• Следовательно, угол DAB = 30°.

Ответ: 30°

5.2) Решение:

• Пусть даны две хорды AB и AC, равные радиусу.
• Тогда треугольники AOB и AOC — равносторонние (OA = OB = AB = радиус и OA = OC = AC = радиус).
• Следовательно, углы AOB = AOC = 60°.
• Угол между хордами — это угол BAC.
• Угол BOC = угол AOB + угол AOC = 60° + 60° = 120°.
• Угол BAC равен половине угла BOC (как вписанный угол, опирающийся на ту же дугу).
• Следовательно, угол BAC = 60°.

Ответ: 60°

6. Доказательство:

• Пусть дан треугольник ABC.
• Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC пересекаются в точке O.
• Точка O равноудалена от вершин A и B (так как лежит на серединном перпендикуляре к AB).
• Точка O также равноудалена от вершин A и C (так как лежит на серединном перпендикуляре к AC).
• Следовательно, точка O равноудалена от всех трёх вершин треугольника ABC (OA = OB = OC).
• Таким образом, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

7. Доказательство:

• Пусть дан треугольник ABC.
• Проведём серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC.
• Они пересекаются в точке O, равноудаленной от вершин A, B и C (OA = OB = OC).
• Следовательно, существует окружность с центром O и радиусом OA, проходящая через все три вершины треугольника ABC.
• Эта окружность является описанной около треугольника ABC.
• Центр описанной окружности единственен (как точка пересечения серединных перпендикуляров).
• Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

8.1) Ответ:

• Окружность не может касаться прямой в двух точках, так как касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

8.2) Доказательство:

• Предположим, что касательная имеет с окружностью две общие точки.
• Тогда она должна пересекать окружность в этих двух точках, что противоречит определению касательной.
• Следовательно, касательная к окружности не имеет других общих точек, кроме точки касания.

9. Решение:

• Пусть AB — хорда, равная радиусу, а AT — касательная в точке A.
• Тогда треугольник AOB — равносторонний (OA = OB = AB = радиус).
• Следовательно, угол AOB = 60°.
• Угол между хордой AB и касательной AT — это угол BAT, который равен половине угла AOB (как угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания).
• Следовательно, угол BAT = 30°.
• Угол между хордой и касательной равен 30°, а второй угол равен 180° - 30° = 150°.

Ответ: 30° и 150°

10. Решение:

• Пусть AB — хорда, равная радиусу.
• Тогда треугольник AOB — равносторонний (OA = OB = AB = радиус).
• Следовательно, угол AOB = 60°.
• Угол между продолжениями хорд — это внешний угол при вершине A или B.
• Этот угол равен 180° - углу AOB = 180° - 60° = 120°.

Ответ: 120°