18.19. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к этой хорде. 18.20. Используя рисунок 18.14, докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружности. 18.21. Докажите, что равные хорды окружности одинаково удале ны от центра окружности (рис. 18.15). 18.22. Докажите, что хорды, одинаково удаленные от центра окруж- ности, равны (рис. 18.15).

18.19. Доказательство

Пусть дан круг с центром в точке O, хорда AB и диаметр CD, проходящий через середину хорды AB, точку M. Нужно доказать, что CD перпендикулярен AB.

Так как M - середина AB, то AM = MB. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB как радиусы круга, следовательно, треугольник AOB равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. OM - медиана треугольника AOB (так как AM = MB), следовательно, OM является и высотой, то есть OM перпендикулярен AB. Поскольку CD содержит OM, то CD перпендикулярен AB.

Ответ: Доказано, что диаметр, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде.

18.20. Доказательство

Пусть AB - произвольная хорда окружности, а CD - диаметр. Нужно доказать, что CD ≥ AB.

Проведём радиусы OA и OB к концам хорды AB. Рассмотрим треугольник AOB. По неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника больше или равна третьей стороне: OA + OB ≥ AB. Так как OA и OB - радиусы окружности, то OA + OB = R + R = 2R, где R - радиус окружности. Диаметр CD также равен 2R. Следовательно, 2R ≥ AB, то есть CD ≥ AB. Таким образом, диаметр является наибольшей хордой окружности.

Ответ: Доказано, что диаметр является наибольшей хордой окружности.

18.21. Доказательство

Пусть AB и CD - равные хорды окружности с центром в точке O. OM и ON - расстояния от центра окружности до хорд AB и CD соответственно, то есть OM перпендикулярен AB и ON перпендикулярен CD. Нужно доказать, что OM = ON.

Так как OM и ON перпендикулярны хордам, они делят хорды пополам (свойство перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде). Значит, AM = AB/2 и CN = CD/2. Поскольку AB = CD, то AM = CN.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OAM и OCN. В них OA = OC как радиусы окружности, AM = CN (доказано выше). Следовательно, треугольники OAM и OCN равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что OM = ON. Таким образом, равные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Ответ: Доказано, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра окружности.

18.22. Доказательство

Пусть AB и CD - хорды окружности с центром в точке O. OM и ON - расстояния от центра окружности до хорд AB и CD соответственно, то есть OM перпендикулярен AB и ON перпендикулярен CD. Известно, что OM = ON. Нужно доказать, что AB = CD.

Так как OM и ON перпендикулярны хордам, они делят хорды пополам (свойство перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде). Значит, AM = AB/2 и CN = CD/2.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OAM и OCN. В них OA = OC как радиусы окружности, OM = ON (по условию). Следовательно, треугольники OAM и OCN равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что AM = CN.

Поскольку AM = AB/2 и CN = CD/2, то AB/2 = CD/2. Умножив обе части на 2, получим AB = CD. Таким образом, хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны.

Ответ: Доказано, что хорды, одинаково удалённые от центра окружности, равны.