366. Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Доказательство: В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы равны 60 градусам. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов. В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают. Значит, точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) является также точкой пересечения медиан и высот. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры совпадают с медианами и высотами. Следовательно, точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) совпадает с точкой пересечения медиан и высот. Таким образом, центры вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника совпадают, так как обе точки совпадают с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.