Докажите, что дроби несократимы: а) \(\dfrac{x^4+1}{x^3+1}\); б) \(\dfrac{x^3+9}{x^2-1}\).

Дробь несократима, если её числитель и знаменатель не имеют общих множителей степени больше нуля.

а) Выполним деление многочленов:

\(x^4+1=x(x^3+1)+(1-x)\).

Если бы у числителя и знаменателя был общий многочлен-делитель, он делил бы и остаток \(1-x\). Но единственный корень этого остатка — \(x=1\), а \(1^3+1=2\ne0\). Значит, общего множителя нет.

б) Разложим знаменатель на множители: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Проверим, делится ли числитель на каждый из них: при \(x=1\) получаем \(1^3+9=10\ne0\), при \(x=-1\) — \((-1)^3+9=8\ne0\). Ни один из множителей знаменателя не делит числитель.

Ответ: обе дроби несократимы.