2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках. 15. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = AB. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке. 16. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

15.1

• По условию задачи, точка A лежит на окружности с центром O.
• OB перпендикулярна прямой, не касающейся окружности, и BC = AB.
• Чтобы доказать, что точка C лежит на окружности, нужно показать, что OC равно радиусу окружности.
• Рассмотрим треугольники OBA и OBC:
• OB - общая сторона.
• AB = BC (по условию).
• Угол OBA = углу OBC = 90° (так как OB перпендикулярна прямой).
• Следовательно, треугольники OBA и OBC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что OA = OC.
• Так как OA - радиус окружности, то и OC - радиус окружности.
• Значит, точка C лежит на окружности.

15.2

• Если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то эта прямая является касательной к окружности.
• Докажем это от противного.
• Предположим, что прямая не является касательной, тогда она пересекает окружность в двух точках.
• Но по условию, у прямой и окружности только одна общая точка, что противоречит нашему предположению.
• Следовательно, прямая является касательной.

15.3

• Если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
• Это следует из определения касания окружностей.
• Две окружности касаются, если они имеют только одну общую точку.

16.1

• Из одной точки проведены две касательные к окружности.
• Нужно доказать, что отрезки касательных MP и MQ равны.
• Рассмотрим треугольники OMP и OMQ:
• OM - общая сторона.
• OP = OQ (радиусы окружности).
• Угол OMP = углу OMQ = 90° (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
• Следовательно, треугольники OMP и OMQ равны по гипотенузе и катету (признак равенства прямоугольных треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что MP = MQ.

16.2

• Докажем, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
• Предположим, что через точку M проходят три касательные к окружности.
• Пусть P, Q и R - точки касания этих касательных с окружностью.
• Тогда MP = MQ = MR (как отрезки касательных, проведённых из одной точки).
• Это означает, что точка M равноудалена от точек P, Q и R.
• Следовательно, можно провести окружность с центром в точке M, проходящую через точки P, Q и R.
• Но это невозможно, так как через три точки, лежащие на одной окружности, нельзя провести другую окружность.
• Следовательно, через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.