Докажите, что если A (−3; 4), B (7; 9), C (5; −2), D (−5; −7), то четырёхугольник ABCD является ромбом. Найдите его площадь.

Вычислим квадраты длин сторон по формуле расстояния между двумя точками.

\(AB^2=(7-(-3))^2+(9-4)^2=10^2+5^2=125\).

\(BC^2=(5-7)^2+(-2-9)^2=(-2)^2+(-11)^2=125\).

\(CD^2=(-5-5)^2+(-7-(-2))^2=(-10)^2+(-5)^2=125\).

\(DA^2=(-3-(-5))^2+(4-(-7))^2=2^2+11^2=125\).

Следовательно, все четыре стороны равны: \(AB=BC=CD=DA=5\sqrt{5}\). Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Найдём диагонали: \(AC=\sqrt{(5+3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{64+36}=10\), \(BD=\sqrt{(-5-7)^2+(-7-9)^2}=\sqrt{144+256}=20\).

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей: \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 20=100\).

Ответ: ABCD — ромб; его площадь равна 100 квадратным единицам.