4) Докажите, что если биссектриса внешнего угла параллельна одной из его сторон, то этот треугольник – равнобедренный

Пусть дан треугольник ABC, и биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC. Обозначим внешний угол при вершине B как угол CBE, а биссектрису этого угла как BD, где D - точка на продолжении стороны AC. Так как BD || AC, то угол CBD = углу BCA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BD и AC и секущей BC. Также, угол ABD = углу BAC как соответственные углы при параллельных прямых BD и AC и секущей AB. По условию, BD - биссектриса угла CBE, следовательно, угол CBD = углу ABD. Из этого следует, что угол BCA = углу BAC. В треугольнике ABC углы при основании AC равны, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.