Докажите, что если числа a^2, b^2 и c^2 составляют арифметическую прогрессию, то числа 1/(b+c), 1/(a+c) и 1/(a+b) также составляют арифметическую прогрессию.

Ответ:

\[a^{2};\ \ b^{2};\ \ c^{2} - арифеметическая\ \]

\[прогрессия.\]

\[d = b^{2} - a^{2};\ \ \ d = c^{2} - b^{2}:\]

\[b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}.\]

\[\frac{1}{a + c} = \left( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} \right)\ :2\]

\[\frac{1}{a + c} = \frac{a + b + b + c}{(a + b)(b + c) \cdot 2}\]

\[\frac{1}{a + c} = \frac{a + 2b + c}{2 \cdot (a + b)(b + c)}\]

\[(a + c)(a + 2b + c) =\]

\[= 2 \cdot (a + b)(b + c)\]

\[Докажем:\]

\[a^{2} + ac + 2ab + 2bc + ac + c^{2} =\]

\[= 2 \cdot \left( ab + b^{2} + ac + bc \right)\]

\[a^{2} + 2ac + 2ab + 2bc + c^{2} =\]

\[= 2ab + 2b^{2} + 2ac + 2bc\]

\[b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}.\]

\[То\ есть\ получили,\ что:\]

\[b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}\ и\ \frac{1}{a + c} =\]

\[= \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - равносильны.\]

\[Значит,\ числа\ \frac{1}{b + c};\frac{1}{a + c};\]

\[\frac{1}{a + b} - являются\ \]

\[арифметической\ прогрессией.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]