Решение задачи 1014

Доказательство прямого утверждения:

Пусть векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ коллинеарны. Это означает, что $$\vec{a} = k\vec{b}$$ для некоторого скаляра $$k$$. Если координаты вектора $$\vec{a}$$ равны $$(x_1, y_1)$$, а координаты вектора $$\vec{b}$$ равны $$(x_2, y_2)$$, то $$(x_1, y_1) = k(x_2, y_2) = (kx_2, ky_2).$$ Из этого следует, что $$x_1 = kx_2$$ и $$y_1 = ky_2$$. Таким образом, $$\frac{x_1}{x_2} = k$$ и $$\frac{y_1}{y_2} = k$$, следовательно, $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2},$$ что означает, что координаты векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ пропорциональны.

Формулировка и доказательство обратного утверждения:

Если координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

Пусть для векторов $$\vec{a}(x_1, y_1)$$ и $$\vec{b}(x_2, y_2)$$ выполняется условие $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k.$$ Тогда $$x_1 = kx_2$$ и $$y_1 = ky_2$$, что означает, что вектор $$\vec{a}$$ может быть выражен через вектор $$\vec{b}$$ как $$\vec{a} = k\vec{b}$$. Следовательно, векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ коллинеарны.

Попарно коллинеарные векторы:

• Проверим векторы $$\vec{a} \{3; 7\}$$ и $$\vec{c} \{6; 14\}$$: $$\frac{3}{6} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}.$$ Следовательно, векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{c}$$ коллинеарны.
• Проверим векторы $$\vec{d} \{2; -1\}$$ и $$\vec{b} \{-2; 1\}$$: $$\frac{2}{-2} = \frac{-1}{1} = -1.$$ Следовательно, векторы $$\vec{d}$$ и $$\vec{b}$$ коллинеарны.
<р>Вектор $$\vec{e}$$ не коллинеарен ни одному из перечисленных, так как не выполняется пропорциональность координат.

Ответ: Попарно коллинеарные векторы: $$\vec{a}$$ и $$\vec{c}$$, $$\vec{b}$$ и $$\vec{d}$$.